Диофантова пятёрка
Диофантова пятёрка — гипотетическое множество из пяти положительных целых чисел [math]\displaystyle{ \{a_1, \dots, a_5\} }[/math], обладающих тем свойством, что всякое число [math]\displaystyle{ a_i a_j + 1 }[/math] является квадратом[1]. По состоянию на 2014 год вопрос о существовании таких пятёрок является открытой проблемой.
Диофант нашёл четвёрку рациональных чисел:
- [math]\displaystyle{ \left\{\frac1{16}, \frac{33}{16}, \frac{17}4, \frac{105}{16}\right\} }[/math],
которые обладают этим свойством в рациональном смысле (то есть, всякое [math]\displaystyle{ a_i a_j + 1 }[/math] является рациональным квадратом). Позже было найдено множество из шести рациональных чисел, обладающих заданным свойством[2].
Пьер Ферма обнаружил четвёрку целых положительных чисел — [math]\displaystyle{ \{1,3, 8, 120\} }[/math], обладающую заданным свойством[1]. Эйлер смог расширить это множество добавлением рационального числа:
- [math]\displaystyle{ \frac{777480}{8288641} }[/math],
но положительное целое, сохраняющее заданное свойство, не может быть добавлено к этой четвёрке, что было доказано в 1969 году Бейкером (Baker) и Дэвенпортом (Davenport)[1].
В 2004 году хорватский математик Андрей Дуелла (Andrej Dujella) показал, что может существовать лишь конечное число диофантовых пятёрок[1].
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Andrej Dujella. There are only finitely many Diophantine quintuples // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — January 2006. — Т. 2004, вып. 566. — С. 183–214. — doi:10.1515/crll.2004.003.
- ↑ Gibbs, Philip (1999), A Generalised Stern-Brocot Tree from Regular Diophantine Quadruples, arΧiv:math.NT/9903035v1.
Ссылки
- Страницы Андрея Дуеллы о диофантовых наборах Архивная копия от 27 ноября 2014 на Wayback Machine